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Resolución del Ejercicio de Cálculo del Rango de una Matriz, utilizando Determinantes

RESOLUCIÓN  DEL EJERCICIO DE CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ UTILIZANDO LAS PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES:

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EJERCICIO M2BE1818:

Hallar el rango de la siguiente matriz:

RESOLUCIÓN:

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   Esta matriz como máximo tendrá rango 4, ya que el rango es el número de filas (que coincide con el número de columnas) independientes.

   Para calcular el rango utilizando determinantes, se trata de partir de un menor de orden 2 e ir ampliándolo (orlándolo) con las sucesivas columnas y filas fijas. Empecemos:

   Eligiendo el primer determinante de orden dos (con las dos primeras filas y dos primeras columnas:

 

   Este resultado nos garantiza que las dos primeras filas son independientes, ya que en su construcción los elementos de los que consta este menor de partida son independientes, por las PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES, con lo que A tiene al menos rango 2.

   Se trata ahora de ver si tiene rango 3, para lo cual ampliamos (orlamos) este determinante de orden dos de partida con la siguiente fila y la siguiente columna:

 

   Con lo que con este resultado no podemos asegurar todavía que A tenga rango 3, de hecho nos indica que la tercera columna (los tres primeros elementos de esta tercera columna son combinación de las dos primeras columnas, con lo cual esta tercera columna queda desechada y tenemos que probar con el siguiente menor de orden tres, que es el menor de orden dos distinto de cero de partida ampliado con la tercera fila pero con la siguiente columna, la cuarta:

 

   En este momento podemos afirmar que el rango de A es al menos 3, convirtiéndose este menor de orden 3 en el menor de partida para plantearnos el rango 4; con lo que tenemos que ampliarlo con la siguiente fila (la cuarta) y las sucesivas columnas. Ampliaremos este menor A’’ con la cuarta fila y la quinta columna (no olvidemos que podemos además probar con la tercera columna, ya que al incluir el elemento de la cuarta fila, la tercera columna podría dejar de ser dependiente de las dos primeras columnas). Tomaremos pues las cuatro filas y las columnas primera, segunda, cuarta y quinta.

 

   Para su cálculo lo vamos a desarrollar el determinante por los elementos de una línea, concretamente por los elementos de la tercera columna, que es la que más ceros presenta para simplificar cálculos:

 

   Con lo que podemos afirmar que el rango de A es cuatro, ya que las cuatro filas son independientes como indica que el determinante de orden 4 formado con parte de las filas es distinto de cero.

 

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